Jeu de la boite noire

Compétences (programmes scolaires de 2015 – extraits)

Chercher
– S’engager dans une démarche de résolution de problèmes en observant, en posant des questions, en manipulant, en expérimentant, en émettant des hypothèses […]
– Tester, essayer plusieurs pistes proposées […]

Modéliser
– Utiliser des outils mathématiques pour résoudre des problèmes […]

Représenter
– Appréhender différents systèmes de représentations (dessins, schémas, arbres de calcul, etc.).
– Utiliser des nombres pour représenter des quantités […]

Raisonner
– Anticiper le résultat d’une manipulation, d’un calcul […]

Calculer
– Calculer avec des nombres entiers, mentalement ou à la main, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies adaptées aux nombres en jeu.
– Contrôler la vraisemblance de ses résultats.

Communiquer
– Utiliser l’oral et l’écrit, le langage naturel puis quelques représentations et quelques symboles pour expliciter des démarches, argumenter des raisonnements.

Objectifs
– Développer des stratégies de calculs sur des nombres de plus en plus grands (de moins de 10 à 50)
– Passer du « comptage » au « calcul »
– S’engager vers la construction du nombre pour comprendre la numération puis les opérations expertes
– Savoir écrire l’opération mathématique associée à la résolution de la situation

Activités
1/ On dispose des cubes dans la boîte. On ajoute/enlève ensuite un certain nombre de cubes. Chaque élève est invité à calculer le nombre de cubes dans la boîte fermée.
On vérifie ensuite le nombre de cubes.
2/ On cache le nombre de cubes présents dans la boîte. On ajoute/enlève des cubes, puis on ouvre la boîte. Les élèves doivent calculer combien de cubes étaient présents au départ. On contrôle le résultat par la photo initiale.

Compétences visées
– Anticiper un résultat par le calcul

Objectifs d’apprentissage
– Passer du « comptage » au « calcul »
– Comprendre la possibilité de résoudre des problèmes réels par les nombres (additifs et soustractifs)
– Expérimenter l’anticipation d’un résultat par le calcul
– Développer des stratégies de calculs sur des nombres de plus en plus grands (de moins de 10 à 50)

Pré-requis
– Connaître la suite numériques
– Cardinalité du nombre

Stratégies

– Garder le nombre en tête et sur-compter avec les doigts
– Compter spontanément (pour des petits quantités)
– S’aider des chiffres avant ou après (pour de petites quantités), en comptant pas à pas
– S’aider visuellement de la frise numérique
– Compter sur ses doigts en ajoutant une quantité et en recomptant l’ensemble, ou en abaissant des doigts et en recomptant l’ensemble
– Dessiner le nombre de cube initial, puis dessiner ou barrer ceux qu’on ajoute ou enlève
– Même procédure mais en schématisant (sans dessiner des cubes, mais des traits par exemple)
– Passer par l’abstraction : écriture chiffrée
– Dans le cas où la quantité est modifiée 2 fois, rassembler ces deux nombres pour ne réaliser le calcul qu’en une seule étape

Anticipation des difficultés
– N’avoir plus aucun repère visuel
– Sur-compter en continuant la comptine au lieu de partir de zéro (4,5,6, puis 7,8 et annoncer 8 au lieu de 2)
– Ne pas réussir à concevoir qu’il faille associer 2 quantités pour trouver le résultat de l’ensemble
– Ne pas réussir à concevoir qu’il faille soustraire une quantité extraite à la quantité initiale pour trouver le résultat de l’ensemble
– Ne pas réussir à procéder à l’addition/soustraction de 2 quantités :
– pour une soustraction, mettre le plus petit nombre devant sans se poser la question du nombre de départ (nombre de cubes dans la boîte avant changement) et sans se demander si la situation est plausible
– avoir des difficultés à « passer la dizaine » supérieure et surtout inférieure en cas de soustraction (12 – 3).
– Ne pas réussir à compléter/réduire une collection pour trouver l’état final : ne pas le concevoir : pas de lien mathématique avec la situation réelle
– Ne pas réussir à formuler sa réponse (en rapport avec ce que l’on cherche)
– Avoir des difficultés à estimer si un résultat est plausible ou pas : ordre de grandeur
– Ne pas réussir à se déplacer sur une frise numérique : sens correspondant à l’addition ou la soustraction, ou dans le cas d’un tableau de nombre rangé par dizaines, ne pas réussir à passer d’une ligne à l’autre, surtout dans le cas de la soustraction (passer du 10 au 0 puis avancer)
– Ne pas percevoir qu’une situation d’ajout ou de suppression de cubes peut se traduire indifféremment par une addition ou une soustraction : en rapport avec la typologie des erreurs d’Astolfi, « erreurs liées aux opérations intellectuelles impliquées ». Il s’agit ici d’analyser les différences dans ce qui se ressemble apparemment.
– Ne plus pouvoir recompter une quantité dans le cas d’une quantité ajoutée dans la boîte : ne plus pouvoir s’y référer visuellement.

Aides possibles
– Montrer la situation pour la faire comprendre : ajouter une quantité et laisser la boîte ouverte.
– Proposer un nombre initial assez grand pour être sûr d’éviter le re-comptage depuis zéro.
– Proposer des aides à la schématisation :

– Commencer à schématiser sur les aides imprimées pour initier la réflexion.
– Proposer une feuille ou une ardoise pour inciter au dessin ou au schéma.
– Écrire directement les étapes et les quantités au tableau : s’aider de symboles comme des drapeaux pour marquer les étapes (chaque fois qu’on ouvre la boîte pour recompter), écrire les noms des élèves et les quantités ajoutées ou retirées, utiliser des +, des – ou des flèches montantes ou descendantes.
– Demander de planifier l’utilisation des aides : pour telle ou telle situation, quelle aide va être utile
– Demander une vérification du résultat : est-il plausible. Pour une situation ou des cubes ont été ajoutés uniquement, le chiffre est-il bien plus grand et inversement.
– Dans les situations où on ajoute et on enlève des quantités, proposer 2 aides pour marquer les étapes de calcul à la place de l’aide à 2 flèches.
– Proposer des aides pour dénombrer :

La présentation est différente d’une file numérique qui représente habituellement le 0. Ici cette aide doit représenter une quantité donc elle part de 1

.

– Proposer des aides pour aider la mémoire : drapeau pour représenter le nombre initial/final connu/inconnu. Cette aide permet aussi de différencier ce que l’on cherche : ce qu’il y avait dans la boîte avant ou ce qu’il y a maintenant.

– Proposer un tableau de nombres classique :

– Proposer une file numérique verticale pour faciliter les « passages » de dizaines :

Variables didactiques / différentiation

– Au départ, le nombre de cubes dans la boîte est compris entre 1 et 20, et le nombre à ajouter entre 1 et 5. On augmente progressivement le nombre de cubes à ajouter.
– Un élève ajoute des cubes puis un autre élève ajoute encore des nombres ou en retire.
– On annonce vouloir X cubes dans la boîte : combien l’élève doit-il mettre de cubes dans la boîte ?
– On annonce vouloir X cubes dans la boîte : combien l’élève doit-il retirer de cubes dans la boîte ?
– Faire passer la boîte d’élève en élève, chacun ajoutant/enlevant une quantité. L’action est écrite au tableau, soit sous forme mathématique (+2 -4), sous forme de phrase « … a enlevé » ou de schéma (flèches pour symboliser l’ajout ou la suppression).
– Faire trouver l’état initial : annoncer que l’on a ajouté/enlevé x cubes et montrer le contenu de la boîte en demandant combien il y en avait à l’origine.
D’une façon générale, l’augmentation des nombres ou des écarts permettra moins facilement de mettre le problème en situation. Le schéma sera de moins en mois possible et l’utilisation du concept de nombre s’imposera peu à peu : on passera d’un SI problème à un CC problème (Brissiaud).

Indicateurs de réussite
– Trouver la quantité de carrés dans la boîte en utilisant au moins une stratégie autre qu’une aide imprimée : dessin, schéma ou calcul chiffré.
– Réussir à calculer en une seule étape (rassembler les quantités ajoutées et retirées puis calculer avec le nombre de cubes initial).
– Exprimer sa démarche par un calcul en utilisant des termes mathématiques : additionner, soustraire.

Séance 1
Mise en route	Nous allons mettre 10 cubes dans la boîte. J’ajoute 4 cubes et je referme la boîte. Vous devez me dire combien il y a de cubes maintenant. Les quantités sont inscrites au tableau. Même situation avec -3 cubes, puis 14 cubes au départ, 12 enlevés puis 7 enlevés. L’objectif est de calculer combien il y a de cubes en sachant combien il y en avait au départ. Les petites quantités permettent de reproduire la situation en schématisant, mais des quantités plus grandes sont rapidement introduites pour emmener les élèves vers des réflexes de calculs.
Appropriation	Les élèves peuvent manipuler les cubes. Ils peuvent mettre des cubes dans la boîte, en ajouter, en enlever, ouvrir ou fermer la boîte.
Recherche	Les élèves se mettent en recherche individuellement. Les aides sont introduites pour débloquer les situations, mais on proposera en premier lieu simplement de quoi écrire. Si un élève veut passer directement par le calcul, il doit pouvoir le faire. On peut inciter les élèves à dessiner la boîte, sinon, on apporte les aides imprimées, d’abord celle sans flèche, sinon celles avec des flèches. Sinon, on propose les aides pour calculer, puis pour dénombrer, aides les plus fortes.
Mise en commun	Les stratégie sont échangées. Elles concernent la mise en place de la situation, par le dessin, le schéma, les aides ou le calcul, mais aussi les stratégies de calcul : pour ajouter 6 + 9, on peut faire 5 + 10.
Structuration	On crée un affichage commun ou on garde le schéma d’un élève. On institutionnalise par un calcul. Que constate-t-on ? Que lorsqu’on ajoute des cubes, le nombre final est plus grand. Comment peut-on se servir de cette affirmation ? En contrôlant le résultat avant de l’annoncer.
Synthèse	Comment peut-on savoir combien fait une collection après avoir ajouté une autre collection ? Par une addition des deux nombres. Idem pour la situation soustractive.

Séance 2
Mise en route	Rappel de la première situation et de sa mise en œuvre. Qu’est-ce qui avait été difficile ou bloquant ? Comment y avait-on apporté une solution ? Nous allons mettre 15 cubes dans la boîte. Un camarade va ajouter des cubes puis le suivant aussi. Il devra annoncer combien de cubes il va mettre. Nous allons inscrire au fur et à mesure les quantités ajoutées. Vous devez me dire combien il y aura de cubes à la fin. Idem en ajouter et/ou enlevant.
Appropriation	Les élèves peuvent faire des tests avant de commencer, en simulant les situations en gardant la boîte ouverte. Ils peuvent compter à chaque étape. Juste avant de se mettre en recherche, on demande aux élèves comment ils peuvent s’y prendre. S’il annoncent utiliser une aide, leur demander laquelle ils vont utiliser et pourquoi faire. On demandera aussi aux élèvex de déterminer un critère de vérification.
Recherche	Les élèves se mettent en recherche individuellement. Les aides tendent à être réduites : on propose d’abandonner les aides imprimées pour le schéma ou le calcul, dans le cas où c’est possible. Cependant, les aides peuvent ici débloquer les situations à deux étapes : on peut proposer l’utilisation de 2 aides à flèche unique pour marquer les 2 étapes et faciliter les calculs.
Mise en commun	Les stratégies sont échangées et les élèves sont invités à expliquer s’il les ont modifier ou changer. Si oui, est-ce à partir de la situation ou à partir des stratégies qu’ils ont découvertes chez leurs camarades. Quelle est la façon la plus sûre ? Quelle est la façon la plus rapide ? Peut-on se passer d’un schéma ? Si oui dans quelles situations ? Que met-on en place alors à la place ? Comment calcul-t-on mentalement ?
Structuration	On institutionnalise les outils pour résoudre la situation : – schéma : imprimé ou feuille de papier – calcul : aides imprimées ou calcul mental (exemple, calculer sur ses doigts, trouver des stratégies de calcul avec le repère à 5 ou à 10) On rappelle l’objectif : aboutir au calcul.
Synthèse	Quels nouveaux moyens peut-on mettre en œuvre pour calculer ? Doit-on obligatoirement faire un schéma ? Vers quel outil acheminons-nous ? Est-ce qu’un calcul peut résoudre chaque situation que l’on a rencontrée ?

Séance 3
Mise en route	Quel outils avons-nous à disposition pour résoudre les situations que nous avons rencontrées ? Référence à l’affichage des outils de calcul et rappel de l’objectif final qui est le calcul et l’écriture chiffrée. Nous allons aujourd’hui chercher une quantité modifiée mais je ne vous montrerai que les cubes que j’ai rétirés et le contenu de la boîte après les avoir retirés. La boîte restera ouverte. Il faudra donc trouver combien il y avait de cubes avant. Je prendrai une photo au tout début pour vérifier après que vous ayiez fait votre calcul. Quel critère de vérification proposez-vous ? On retire au départ une petite quantité, de 2 cubes. Il sera possible ainsi de calculer « visuellement ». On augemente les quantités, 4, 6, puis 10. Ensuite, on enlève 12 cubes à une quantité de 25.
Appropriation	On montre une situation en exemple : on enlève une petite quantité que l’on pose à côté de la boîte, et on rappelle ce que l’on cherche. On peut remettre et ressortir la quantité pour montrer le changement de situation. On aura pris une photo que l’on laissera à disposition pendant la situation exemple.
Recherche	Les élèves cherchent seuls. On incite les élèves à utiliser les aides qui leur sont prédestinées.
Mise en commun	Quelles stratégies de calcul a-t-on mis en place pour calculer ? Quelles opérations peut-on proposer pour formuler le calcul ? Attention, ici on peut utiliser le + ou le -. Il est tout à fait possible trouver le résultat d’une opération que de compléter une opération à trous.
Structuration	On met en parallèle la situation problème avec les quantités (visible, recherchée, retirée), que l’on formule avec des signes mathématiques. quantité visible + quantité enlevée = quantité de départ (opération pour expliquer) quantité de départ – quantité enlevée = quantité visible (opération pour résoudre)
Synthèse	Pour quelles situations était-il possible de dénombrer ? Pour quelles autres devions-nous passer par le calcul ? Le calcul est-il une solution possible dans tous les cas ?
	Séance 4
Mise en route	Quelles sont les moyen de calculer une quantité recherchée ? Nous allons de nouveau chercher une quantité modifiée en n’observant que le nombre de cubes après modification. Je ne vais cependant pas retirer des cubes, mais en ajouter. Pour chaque situation, vous pourrez soit faire un schéma, soit utiliser les aides, soit passer par un calcul, ce qui est l’objectif de tout le monde. Quel critère de vérification proposez-vous ? On ajoute au départ une petite quantité, de 2 cubes, pour permettre un calcul « visuel ». On augemente les quantités ajoutées, 4, 6, puis 10. Ensuite, on ajoute 8 cubes à une quantité de 15. Quel critère de vérification proposez-vous ?
Appropriation	On montre une situation en exemple : on ajoute une petite quantité et on la dispose légèrement à côté dans la boîte. On rappelle ce que l’on cherche dans la boîte et on le montre. On peut ressortir puis remettre la quantité pour montrer le changement de situation. On aura pris une photo que l’on laissera à disposition pendant la situation exemple.
Recherche	Les élèves cherchent seuls. On incite les élèves à utiliser les aides qui leur sont prédestinées.
Mise en commun	Quelles stratégies de calcul a-t-on mis en place pour calculer ? Quelles opérations peut-on proposer pour formuler le calcul ? Attention, ici on peut aussi utiliser le + ou le -, tout comme à la séance précedente.
Structuration	On met en parallèle la situation problème avec les quantités (visible, recherchée, retirée), que l’on formule avec des signes mathématiques. quantité visible – quantité ajoutée = quantité de départ (opération pour expliquer) quantité de départ + quantité enlevée = quantité visible (opération pour résoudre)
Synthèse	Quelles nouvelles stratégies de calcul avez-vous appris ? Quelles sont les erreurs de calcul à anticiper ? Pour retrouver une quantité de départ : – dans quel cas pouvons-nous additionner ? – dans quel cas pouvons-nous soustraire ? Les calculs nous ont-t-ils permis de résoudre toutes les situations ?